Estimación de la media robusta paso a paso

El siguiente artículo enseña como realizar el cálculo de la media robusta de una serie de datos mediante el método iterativo que se presenta en la norma ISO 5725-5, y que recibe el nombre de "Algoritmo A".

La idea central es usar un método alternativo o complementario al descarte de los datos anómalos de los test de Cochran, Grubbs, h y k de Mandel y otros.

A continuación, se presenta el método propuesto por ISO 5725-5 paso a paso.

Para ello, consideremos 9 datos correspondientes a una serie de un ensayo. Para estimar la media robusta los ordenamos de menor a mayor como sigue:

x1	17,570
x2	19,500
x3	20,100
x4	20,155
x5	20,300
x6	20,705
x7	20,940
x8	21,185
x9	24,140

Primero calculamos la media, la desviación estándar, la mediana (designada como x*) y la desviación estándar basada en la mediana, s*.

x1	17,570
x2	19,500
x3	20,100
x4	20,155
x5	20,300
x6	20,705
x7	20,940
x8	21,185
x9	24,140
Media	20,511
desv est	1,727
x*	20,300
s*	0,949

Para calcular s*, se procede como sigue

|x1 - x*|	2,73
|x2 - x*|	0,8
|x3 - x*|	0,2
|x4 - x*|	0,145
|x5 - x*|	0
|x6 - x*|	0,405
|x7 - x*|	0,64
|x8 - x*|	0,885
|x9 - x*|	3,84

Por lo tanto s* = 1,483*mediana |xi – x*| = 0,949

Para la primera iteración, aparece un nuevo término, que denotaremos j:

j = 1,5 s*. En este caso, j = 1,5*0,949 = 1,424

Iteración	0	1
j		1,424
x* - j		18,876
x* + j		21,724
x1	17,570
x2	19,500
x3	20,100
x4	20,155
x5	20,300
x6	20,705
x7	20,940
x8	21,185
x9	24,140
Media	20,511
desv est	1,727
x*	20,300
s*	0,949

Para calcular los términos x1 a x9 se procede como sigue:

Los valores extremos son x1 y x9.

Para el dato menor x1,

si x1 < (x* - j), entonces colocar (x* - j), de lo contrario repetir el valor x1

Para el dato mayor x9:

si x9 > (x* + j), entonces colocar x9, de lo contrario repetir el valor (x* - j)

El resto de los valores de x2 a x8 se vuelven a repetir en la siguiente columna.

Iteración	0	1
j		1,424
x* - j		18,876
x* + j		21,724
x1	17,570	18,876
x2	19,500	19,500
x3	20,100	20,100
x4	20,155	20,155
x5	20,300	20,300
x6	20,705	20,705
x7	20,940	20,940
x8	21,185	21,185
x9	24,140	21,724
Media	20,511
desv est	1,727
x*	20,300
s*	0,949

Luego, se calcula la media, desviación estándar y los valores de x* y s* para esta primera iteración.

Iteración	0	1
j		1,424
x* - j		18,876
x* + j		21,724
x1	17,570	18,876
x2	19,500	19,500
x3	20,100	20,100
x4	20,155	20,155
x5	20,300	20,300
x6	20,705	20,705
x7	20,940	20,940
x8	21,185	21,185
x9	24,140	21,724
Media	20,511	20,837
desv est	1,727	0,869
x*	20,300	20,387
s*	0,949	0,986

Para s* se procede calculando s* = 1,483*mediana  |xi - x*|

Lo mismo procede para la segunda, tercera, cuarta y quinta iteración.

La siguiente tabla muestra los resultados de 5 iteraciones: 

Iteración	0	1	2	3	4	5
j		1,424	1,478	1,515	1,540	1,558
x* - j		18,876	18,909	18,892	18,871	18,854
x* + j		21,724	21,866	21,921	21,951	21,970
x1	17,570	18,876	18,909	18,892	18,871	18,854
x2	19,500	19,500	19,500	19,500	19,500	19,500
x3	20,100	20,100	20,100	20,100	20,100	20,100
x4	20,155	20,155	20,155	20,155	20,155	20,155
x5	20,300	20,300	20,300	20,300	20,300	20,300
x6	20,705	20,705	20,705	20,705	20,705	20,705
x7	20,940	20,940	20,940	20,940	20,940	20,940
x8	21,185	21,185	21,185	21,185	21,185	21,185
x9	24,140	21,724	21,866	21,921	21,951	21,970
Media	20,511	20,837	20,407	20,411	20,412	20,412
desv est	1,727	0,869	0,890	0,905	0,916	0,924
x*	20,300	20,387	20,407	20,411	20,412	20,412
s*	0,949	0,986	1,010	1,027	1,039	1,047

De la cuarta y quinta iteración los valores de la media y x* no difieren o el cambio de x* y s* desde un cálculo a otro se hace pequeño. Por lo tanto, podemos asumir que la media robusta es 20,412.     

Referencia:

ISO 5725-5:1998 (corr 2005) Accuracy (trueness and precision) of measurement methods and results — Part 5: Alternative methods for the determination of the precision of a standard measurement method.  Pág. 35. 
ANALYST. DECEMBER 1989, VOL. 114 Robust Statistics- How Not to Reject Outliers. Part 1. Basic Concepts, pp 1693 a 1697.
ANALYST. DECEMBER 1989, VOL. 114 Robust Statistics- How Not to Reject Outliers. Part 2. Inter-laboratory Trials, pp 1699 a 1702.

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