viernes, 9 de septiembre de 2022

PRUEBA DE KRUSKAL-WALLIS CON EXCEL

Esta prueba es alternativa al test de ANOVA para ver si existen diferencias entre las medias cuando los datos no se ajustan a una distribución normal. Pero como corresponde a un método no paramétrico, lo que se comparan son las medianas.

Contraste de Hipótesis:
H0: las k muestras provienen de la misma población
H1: Al menos una muestra proviene de una población con una mediana diferente a las demás


Estadístico de prueba:

donde:
n: es el tamaño de la muestra
R: es el orden asignado (ranking según KW)

Criterio de rechazo:
Si p-valor < α, entonces se rechaza la hipótesis nula.


Requisitos para la prueba:
  1. La muestra debe ser aleatoria simple
  2. Los datos deben tener un factor categórico
  3. La respuesta debe ser continua
  4. Los datos de todos los grupos deben tener distribuciones con una forma similar
El siguiente ejemplo ilustra como puede construirse un estadístico de Kruskal-Wallis en Excel.
Los siguientes datos corresponden a una ronda intralaboratorio, donde 6 analistas ensayan en forma independiente un material de referencia en sextuplicado. Determinar si las medianas de los analistas son iguales o si al menos una de ellas difiere, con un nivel de confianza del 95%.



Este estadístico, lo que hace es asignar un número de orden a cada valor, ya sea en forma descendente o ascendente. Si dos o más de los valores son iguales, se dice que se registra "un empate". En este caso, se asigna a esos valores repetidos el promedio resultante.
En Excel, para realizar esa operación existe una función que se denomina jerarquia.media.
=JERARQUIA.MEDIA(número;referencia;[orden]).
Número: es el valor al que hay que asignarle un orden
referencia: es el intervalo de valores (todos)
[orden]: 0 significa descendente y 1 ascendente.


Finalmente, para obtener H, el estadístico de Kruskal-Wallis y el p-valor, se procede de acuerdo con la siguiente figura.


Conclusión.
Como el nivel de confianza es del 95%, alfa = 0,05.
Por lo tanto, como p-valor < 0,05, se rechaza la hipótesis nula. Es decir, al menos una de las medianas difiere.

Referencia: 
[1] E.L. Lehmann (1975). Nonparametrics: Statistical Methods Based on Ranks, Holden-Day.
[2] M. Hollander and D.A. Wolfe (1973). Nonparametric Statistical Methods, John Wiley & Sons, Inc.

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lunes, 22 de agosto de 2022

LA HOMOGENEIDAD EN MATERIALES PARTICULADOS SEGÚN LA TEORÍA DE PIERRE GY

Para Pierre Gy, la homogeneidad es un concepto relativo, depende de los lentes con que estemos mirando el material. Si miramos los objetos de lejos parecerán homogéneos a que si lo miramos de cerca.

La homogeneidad perfecta no existe, es una ilusión. La naturaleza es heterogénea.

Se entiende por homogeneidad de constitución cuando las diferencias entre partículas o fragmentos es nula. Es decir, todos los fragmentos son iguales en densidad, tamaño de partícula, propiedades físicas y químicas, etc. (lo que es un caso irreal).

Se entiende por homogeneidad de distribución, la distribución espacial de las partículas de tal manera que no hayan diferencias entre grupos, 

A continuación, se presentan 4 diagramas que sirven para demostrar la naturaleza aleatoria de la "homogeneidad".

Caso A.- En este cuadro hay 64 componentes completamente homogéneos. Esto corresponde a la homogeneidad de constitución.

Aquí se puede apreciar que al no existir heterogeneidad de constitución, tampoco habría heterogeneidad de distribución. 

Este caso no es real.

Caso B.- Módulos repetidos en la vertical y horizontal. La constitución es heterogénea, con 4 diferentes componentes, pero con la distribución estrictamente homogénea si consideramos un múltiplo del módulo 1x4 o 4x1, como por ejemplo; un rectángulo 4x3. Pero heterogénea en un cuadrado 3x3 o un rectángulo 5x2.

Un ejemplo en la vida real podría ser el  de un cristal perfecto.

Caso C.- Representa una distribución completamente segregada. Los cuatro componentes están separados y forman 4 capas respectivamente homogéneas.

En la práctica, esto ilustra el peligro asociado al muestreo de agarre (grab sampling). Hay dos dimensiones de homogeneidad y 1 dimensión de heterogeneidad.


Caso D.- La figura muestra una distribución completamente aleatoria. La heterogeneidad de distribución es mínima e igual al residuo aleatorio DHL.
Equivale a seleccionar al azar, cada elemento, uno por uno, antes de ser colocado al interior del lote. Esto es equivalente a mezclar u homogenizar. Tiende a suprimir o cancelar cualquier correlación entre posición y personalidad de las unidades

Éste último constituye un ejemplo de lo más cercano que puede estar un material de la homogeneidad.

Por lo tanto, un material particulado presenta dos condiciones que provocan que el material no sea estrictamente homogéneo:

1.- heterogeneidad de constitución.- corresponde a la diferencia entre fragmentos. Ninguna partícula o fragmento es igual a otro, porque tienen distinto tamaño, distinta densidad, distinta composición física o química, etc. 

2.- heterogeneidad de distribución.- corresponde a las diferencias entre grupos de fragmentos. Las partículas tienen la propiedad de agruparse y segregarse. Esta anisotropía se ve favorecida por la fuerza de gravedad que actúa en sentido vertical una vez que el material ha dejado de homogenizarse. Al ser las partículas diferentes, lo más homogéneo desde el punto de vista espacial que puede presentarse un material (Caso D), según lo expuesto en los diagramas anteriores, es que las  partículas se distribuyan de manera aleatoria en el espacio. Aunque el material sea sometido a homogenización usando un mezclador u homogenizador correcto, siempre va a existir una heterogeneidad residual.


Tipos de homogeneidad (desde el punto de vista práctico)

En la naturaleza los materiales presentan un híbrido entre estas 5 condiciones.

a) Homogeneidad de tres dimensiones.- Esta es la única forma isotrópica, no degenerada de la homogeneidad de distribución. Es lo que asintóticamente observamos en los homogenizadores.

Una vez que se detienen los homogenizadores comienza actuar la fuerza de gravedad, por lo que esta condición es inestable.  

b) Homogeneidad de dos dimensiones.- Esta se produce por la degeneración de una distribución homogénea de 3 dimensiones, por la acción selectiva o diferencial de la gravedad (Caso C).
Existen 2 dimensiones de homogeneidad y 1 dimensión de heterogeneidad.

c) Homogeneidad de una dimensión.- Este tipo de homogeneidad no resulta por causas naturales, sino que es introducida en el proceso por los seres humanos.

Se crea con el fin de alimentar una planta con material que tenga variabilidad uniforme.

Existen 2 dimensiones de heterogeneidad y 1 dimensión de homogeneidad.

La técnica desarrollada para este fin, se aplica en las industrias del cemento y del acero, y se conoce como “bed blending”. Existen varios métodos de bed blending, tales como Chevron, Hileras, Chevcon, etc.

Nota.- Haga clic sobre los nombres de los métodos de bed-blending para ver los videos.

d) Homogeneidad por revolución.- Este tipo de homogeneidad puede definirse como una simetría alrededor de un eje vertical.

Existe 1 dimensión de homogeneidad y 2 dimensiones de heterogeneidad.

Lo observamos en la descarga de material particulado desde una faja transportadora, cuando el material cae en un plano horizontal o en un cilindro cónico alimentado a lo largo de su eje de revolución.

Otro ejemplo donde se usa este tipo de distribución es en el método de cono y cuarteo.

e) Heterogeneidad de tres dimensiones.- Este es el caso más general. Para el Dr. Gy es el estado que siempre deberíamos asumir cuando nada se sabe acerca de la distribución.
Hay 3 dimensiones de heterogeneidad y ninguna distribución de homogeneidad.

Referencia:
[1] Pierre Gy - "Sampling of heterogeneous and dynamic material systems". Ed 1992.

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domingo, 29 de mayo de 2022

CIFRAS SIGNIFICATIVAS PARA SISTEMAS DE MEDICIÓN Y OPERACIONES MATEMATICAS

El siguiente artículo tiene por objeto aclarar el uso de las cifras significativas, las reglas de redondeo numérico y las operaciones matemáticas con cifras significativas relacionadas con los sistemas de medición.. 

1. Ejemplos de cifras significativas en sistemas de medición

1.1 Aclaración de las cifras significativas en sistemas analógicos (2)

(Este punto está basado en el capítulo 1 del libro de Física de Alvarenga y Máximo)

Las cifras significativas de una medida son las cifras exactas seguido del primer número dudoso o incierto.

Ejemplo 1.1a.- ¿Cuántas cifras significativas puede reportar esta regla al medir la barra?


El resultado 14,35 cm. Aquí las cifras exactas son las comprendidas en el valor de 14,3 (sensibilidad de la regla es 0,1 cm) y el valor dudoso (o incierto) es el 5, ya que de este último no podemos estar tan seguro de su valor. Otra persona podría estimar la cifra como 4 o 6. Por lo tanto, el número total de cifras significativas es cuatro.

Ejemplo 1.1b.-  ¿Cuántas cifras significativas puede reportar esta regla al medir la barra?


La lectura final es 14,355 cm. Aquí las cifras exactas son las comprendidas en el valor de 14,35 cm (sensibilidad de la regla es 0,01 cm) y el valor dudoso es el último 5. Por lo tanto, el número de cifras significativas en el resultado final es cinco.  


Ejemplo 1.1c.-  ¿Cuántas cifras significativas puede reportar esta bureta al medir volumen? 


Respuesta: Aquí la lectura final es 30,00 mL. Aquí las cifras exactas están comprendidas en el valor de 30,0 mL (sensibilidad de la bureta es 0,1 mL), pero el tercer cero es dudoso o incierto. Por lo tanto, el número de cifras significativas en el resultado final es cuatro.

1.2 Aclaración de las cifras significativas en sistemas digitales

A diferencia de los sistemas analógicos, en los dispositivos con lectura digital, el dígito incierto o dudoso corresponde al último digito del resultado obtenido.

Ejemplo 1.2a.- ¿Cuántas cifras significativas puede reportar este termómetro al medir temperatura? 


Respuesta.- Aquí la lectura final es 36,8°C. Aquí las cifras exactas están comprendidas en el valor de 36°C, pero el tercer dígito es dudoso o incierto. Por lo tanto, el número de cifras significativas en el resultado final es tres.

Ejemplo 1.2b.- ¿Cuántas cifras significativas puede reportar esta balanza al medir masa?


Respuesta.- Aquí la lectura final es 6,9201 g. Aquí las cifras exactas están comprendidas en el valor de 6,920 g (sensibilidad de la balanza es 0,0001 g = 0,1 mg), pero el cuarto decimal es dudoso o incierto. Por lo tanto, el número de cifras significativas en el resultado final es cinco.

 

2. Resumen para determinar las cifras significativas:

1. Cualquier dígito diferente de cero es significativo.   
    Ejemplo: 1234,56     
    6 cifras significativas

2. Ceros  entre dígitos distintos de cero son significativos.
    Ejemplo: 1002,5    
    (5 cifras significativas)

3. Ceros a la izquierda del primer dígito distinto de cero no son significativos.
    Ejemplo:  0,00456    
    (3 cifras significativas)
    Ejemplo:  0,0056     
    (2 cifras significativas)

4. Si el número es mayor que 1, todos los ceros a la derecha del punto decimal son significativos.
    Ejemplo:  400,00     
    (5 cifras significativas)
 
5. Si el número es menor que 1, entonces únicamente los ceros que están al final del número y entre los dígitos distintos de cero son significativos.
    Ejemplo:  0,01020 
    (4 cifras significativas) 

6 . Cantidades definidas o contadas tienen un número ilimitado de cifras significativas
     Ejemplo:  pi, e, números de conversión ,etc.
      
7. Cuando un número íntegro termina en uno o más ceros (esto es, cuando no hay nada escrito después  del punto decimal), los ceros que determinan el número íntegro pueden o no pueden ser significativos, ya que depende cómo fueron obtenidos.
       Ejemplo:  1000    
      (1, 2, 3, o 4 cifras significativas)

Una manera de evitar confusión en este último caso es la de reportar el número en forma exponencial, escribiendo únicamente el número de cifras significativas. Por ejemplo, si solo hubiera dos cifras significativas en 1000, tendría que ser reportado como
1,0 x 103    (2 cifras significativas)
Si tuviera 3 cifras significativas, tendría que ser reportado como 
             1,00 x 103 3 cifras significativas, etc.

3. Sobre el redondeo de datos informados 

A. Cuando un número se obtiene mediante cálculos, su precisión depende de la precisión del número utilizado en el cálculo. Para limitar los errores numéricos, se retiene una cifra significativa adicional durante los cálculos y la respuesta final se redondea al número adecuado de cifras significativas. 

B. Se deben usar las siguientes reglas: 
1. Si el dígito adicional es menor que 5, elimine el dígito. 
2. Si el dígito adicional es mayor que 5, suéltelo y aumente el dígito anterior en uno. 
3. Si el dígito adicional es cinco, aumente el dígito anterior en uno si es impar; de lo contrario, no cambie el dígito anterior. 

C. En la siguiente tabla se dan ejemplos:


4. Cifras significativas según la FDA (1)

4.1 Definiciones y reglas para cifras significativas

A. Todos los dígitos distintos de cero son significativos.

B. El dígito más significativo en un resultado informado es el dígito distinto de cero que se encuentra más a la izquierda: 359,741 (3 es el dígito más significativo).

C. Si hay un punto decimal, el dígito menos significativo en un resultado informado es el dígito más a la derecha (ya sea cero o no): 359,741 (1 es el dígito menos significativo). Si no hay un punto decimal presente, el dígito distinto de cero más a la derecha es el dígito menos significativo.

D. El número de "dígitos entre" y los dígitos más y menos significativos corresponde al número de dígitos significativos en el resultado: 359,741 (hay seis dígitos significativos)

E. La siguiente tabla da ejemplos de estas definiciones:


5. Cifras significativas en operaciones matemáticas

La mayoría de los resultados analíticos en los laboratorios y procesos industriales se obtienen mediante combinaciones aritméticas de números: suma, resta, multiplicación y división.

El número adecuado de dígitos utilizados para expresar el resultado se puede obtener fácilmente en todos los casos recordando el principio establecido anteriormente: los resultados numéricos se informan con una precisión cercana a la de la medida numérica menos precisa utilizada para generar el número. Algunas pautas y ejemplos se dan a continuación:

5.1 Adición y sustracción

La pauta general al sumar y restar números es que la respuesta debe tener decimales iguales a la del componente con el menor número de decimales:

Ejemplo: 21,1 + 2,037 + 6,13 = 29,267

El resultado correcto es 29,3 ya que el componente 21,1 es el que tiene el menor número de decimales

5.2. Multiplicación y división

La pauta general es que la respuesta tenga el mismo número de cifras significativas que el número con la menor cantidad de cifras significativas:

(56 × 0,003462 × 43,72)/1,684 = 4,975740998 (resultado obtenido mediante una calculadora)
El resultado correcto es 5,0 ya que una de las medidas tiene sólo dos cifras significativas.

Ejemplo práctico: Tenemos un MRC que tiene un valor asignado de 0,180 % de molibdeno y queremos expresarlo en g/t ¿Cuántas cifras significativas al final tendrá?

Respuesta: 0,180 x 10000 = 1800 g/t Mo. Sólo 3 cifras significativas; el 1, 8 y el primer cero. El último cero no es significativo. Si lo quisiéramos usar como material de referencia para el molibdeno en g/t, el valor asignado ya no sería un sólo valor sino que estaría comprendido entre 1795 y 1805 g/t de Mo.


Referencia:

(1) FOOD AND DRUG ADMINISTRATION OFFICE OF REGULATORY AFFAIRS ORA Laboratory Manual Volume III Section 4. Editado 2019

(2) Alvarenga, Máximo. Física General con experimentos sencillos. Ed. 2008.

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