CÓMO APLICAR LA TEORÍA DE PIERRE GY EN LA PRÁCTICA

El objetivo del muestreo correcto es identificar los errores que se pueden producir en el proceso de muestreo y una vez identificados, cancelarlos o minimizarlos según corresponda. Pero para poder realizar esto, debemos recurrir a la teoría, al modelo que nos facilita este trabajo. En nuestro caso a la teoría de Pierre Gy. 

De esto se trata este artículo, presentar un resumen de la teoría y una estrategia de cómo aplicar esto en la práctica.

Definición del muestreo

Para Pierre Gy, el muestreo corresponde una secuencia de operaciones selectivas y no selectivas que finalizan con la selección de una o diferentes porciones de ensayo del proceso analítico.  

De aquí podemos desprender lo siguiente, el muestreo más que el acto de extraer una fracción de un lote (operación selectiva), es un proceso que involucra además otro tipo de operaciones que él denomina no selectiva en donde podría ocurrir también alteraciones de la integridad del lote y que corresponde a operaciones tales como la carga y descarga del material, traslados, transporte, secado, chancado, pulverizado, almacenamiento, homogenizado, tamizado, ingreso y procesamiento de datos, etc. 

Estrategia para aplicar la teoría de Pierre Gy en la práctica

La siguiente es una estrategia que corresponde a la estrategia implementada por Arech Consultores SpA para minimizar o cancelar según corresponda los diferentes tipos de errores del muestreo que se pueden presentar en un proceso.

Los fenómenos podemos verlos a pequeña escala y a gran escala. Para ver los fenómenos a gran escala, tenemos que alejarnos y ver en su conjunto como por ejemplo los resultados de la planta durante un tiempo determinado. 

A pequeña escala

a) Identificar los tipos de operación en todo el proceso de muestreo

Si partimos de la base de la definición de P Gy, entonces, lo primero que debemos realizar es identificar aquellas operaciones selectivas que tenemos en todo el proceso de muestreo. Y al mismo tiempo, identificar y clasificar por etapas las operaciones de tipo no selectivas del proceso hasta llegar a la porción de ensayo en el laboratorio.

Una vez identificadas cada una de las operaciones (tanto selectivas como no selectivas), podemos partir de un principio, que, si bien no sale de esta forma en el libro de P. Gy, podríamos desprenderla de su definición y que nos va a servir para implementar esta estrategia. Y estos dos principios corresponden a qué es lo que deberíamos considerar para que no se produzcan desviaciones tanto en las operaciones selectivas como en las operaciones no selectivas. 

1.- Principio del muestreo correcto asociado a las operaciones selectivas:

"Todas las partículas, fragmentos o partes del lote deben tener la misma probabilidad de ser seleccionadas y formar parte de la muestra". (equiprobabilidad) 

2.- Principio del muestreo correcto asociado a las operaciones no selectivas:

"El material no debe sufrir alteración a lo largo de todo proceso de muestreo que afecten los resultados. Que en todo el proceso de muestreo se mantenga las características del lote original (Integridad del lote)"

Nota.- Estos dos principios son equivalentes a las 4 reglas del muestreo correcto de Pierre Gy que señala 

1. Todos los fragmentos o grupos de fragmentos deben tener la misma oportunidad de formar parte de la muestra (El no hacerlo provoca el error de delimitación de los incrementos, ED).

2. La herramienta de muestreo no debe volverse selectiva en lo que está tomando (sí lo hace provoca el error de extracción de los incrementos, EE).

3. La masa de los incrementos recolectados debe ser proporcional a la cantidad de material presentado a la herramienta de muestreo (Si no es proporcional se provoca el error de ponderación de los incrementos, EW).

4. La integridad de los incrementos no debe ser alterada bajo ninguna circunstancia (si se altera se provoca el error de preparación de los incrementos, EP)

Sin embargo, si hacemos un análisis más exhaustivo de estas reglas, vamos a encontrar que las 3 primeras reglas son equivalentes al principio 1, y la cuarta regla al principio 2, ya que, si la herramienta de muestreo se vuelve selectiva y se comete el error de extracción, entonces todas las partículas, fragmentos o partes del lote no tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas y formar parte de la muestra. Y si la masa de los incrementos recolectados no es proporcional a la cantidad de material presentado a la herramienta de muestreo, entonces también podemos concluir que todas las partículas, fragmentos o partes del lote no tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas y formar parte de la muestra. 

b) analizar los errores asociados en cada operación selectiva (OS) y operación no selectiva (ONS)

Si analizamos las operaciones selectivas, vamos a encontrar, que en este tipo de operación sólo se pueden producir los siguientes errores:

1. El error fundamental

2. El error de segregación y agrupamiento

3. El error de delimitación de los incrementos

4. El error de extracción de los incrementos

5. El error de ponderación

Si analizamos las operaciones no selectivas, el único error que se puede asociar es:

6. El error de preparación de los incrementos.

En el caso de las OS, se debe analizar cada error por cada operación y ver cómo poder evitarlo para que el dispositivo o la técnica asociado a este tipo de operación no provoque desviaciones al proceso.

En el caso de las ONS, la estrategia sería dividir el proceso en etapas y en cada etapa ver qué tipo de alteración se produce o puede producir y realizar un análisis de criticidad de riesgos. Una clasificación práctica sería considerar alteraciones en la composición física (ACF), alteración en la composición química (ACQ), alteración en la data (ADD) u otros tipos de alteración según sea el alcance del muestreo.

Hay que entender que los dos primeros errores existen en la naturaleza, independiente del proceso de muestreo, por lo que estos errores no pueden ser eliminados. 

Los errores 3, 4, 5 y 6, por lo menos en teoría si pueden ser cancelados, si se respetan las reglas del muestreo correcto o los 2 principios del muestreo correcto, ya que estos errores son introducidos en el proceso de muestreo.

Conclusión.  Si cumplimos con los 2 principios del muestreo correcto o las 4 reglas de la corrección del muestreo de P. Gy, entonces, los únicos errores que prevalecerán serán el fundamental y el error de segregación y agrupamiento.

A gran escala

Clasificación de los lotes

Según la teoría de Pierre Gy, los lotes pueden ser vistos de tres formas diferentes, cada lote puede verse de forma continua o discontinua, ordenado o desordenado o verse según el número de dimensiones consideradas para su muestreo. 

Generalmente, es más fácil ver estos lotes desde el punto de vista continuo cuando analizamos estos fenómenos a gran escala (es decir, viendo los resultados de la planta como series, por ejemplo)

Ahora bien, según esta teoría, antes de aplicar estos principios o reglas de la corrección del muestreo, cuando se trata de lotes continuos, los lotes a ser muestreados deben ser transformados, en lo posible, primero a lotes de 1 dimensión o de 0 dimensión según corresponda.

Para entender esta clasificación de los lotes, partimos de la base de la existencia en nuestro universo de 3 dimensiones espaciales. Es decir, ancho, largo y profundidad (en la física corresponde a la presentación de los ejes x, y, z en un gráfico tridimensional).

Lote 3d

Un lote de 3 dimensiones (3d), es aquel donde en las 3 dimensiones no se cumple el principio 1 del muestreo correcto, es decir "todos los fragmentos o grupos de fragmentos no tienen la misma oportunidad de ser seleccionados y formar parte de la muestra" en los 3 ejes de coordenadas de un gráfico tridimensional.

Un ejemplo típico, es cuando se muestrea con una pala sobre una pila de acopio, una sonda que no alcanza a llegar el fondo en un maxisaco o en el cargamento de un camión, vagón de tren, motonave, etc. El uso de lanzas o medialunas para muestrear pulpas en la planta.

Lote 2d

Sin embargo, este lote 3d lo podemos transformar a un lote de 2 dimensiones si aplanamos el lote o alargamos el dispositivo de muestreo, de tal forma que ahora sí pueda llegar al fondo. En este caso, se cumple el principio 1, sólo en una de sus dimensiones. Es decir "todos los fragmentos o grupos de fragmentos no tienen la misma oportunidad de ser seleccionados y formar parte de la muestra" sólo en 2 de los ejes de coordenadas de un gráfico tridimensional.

Un ejemplo típico, es cuando la sonda para muestrear el maxisaco, la lanza o el cortador sobre un cargamento en un camión, vagón de tren, pila de acopio donde el dispositivo ahora sí llega al fondo.

Lote 1d

Pero, también podemos transformar un lote 3d o 2d en un lote de una dimensión si el lote lo alargamos y muestreamos ancho y espesor como se muestra en la figura. Es decir, en dos de sus dimensiones se cumpliría el principio 1. Y sólo en 1 dimensión los fragmentos o grupos de fragmentos no tendrían la misma oportunidad de ser seleccionados y formar parte de la muestra". O sea, en 1 de los ejes de coordenadas de un gráfico tridimensional.

Un ejemplo típico, el muestreo sobre una correa transportadora detenida, o en la descarga de una cinta transportadora donde se corta el ancho y espesor del material. Lo mismo puede aplicarse a las pulpas y líquidos donde el cortador debe interceptar el flujo en la descarga de ésta, cortando el ancho y el espesor.

Lote 0d

Un lote de 0 dimensión se refiere a aquel lote donde el número de dimensiones llega a ser irrelevante.

El orden de las unidades es irrelevante. Se pueden tratar como poblaciones estadísticas, donde cada unidad (no correlacionada) tiene la misma probabilidad de ser escogido.

Es de 0d en la medida que estos lotes sean considerados como unidades aleatorias y discontinuas.

Ejemplo de unidades que pueden ser enumeradas; maxisacos, camiones, tambores, vagones de tren. Pero cuando muestreamos al interior de estas unidades, pueden ser de 3d, 2d o 1d según la forma del lote o el dispositivo que usemos.

También podemos considerar lotes de 0d cuando los lotes son pequeños y pueden ser manipulados en su totalidad. Un ejemplo típico es homogenizar el lote para extraer una muestra representativa, siempre y cuando se encuentren en el lado seguro en un diagrama de muestreo respecto de la masa a tomar.

Conclusión. Si podemos transformar, en lo posible, los lotes a lotes de 1d, en la planta por ejemplo, entonces estamos en condiciones de identificar los siguientes errores:

7. El error de tendencia

8. El error de fluctuación periódica

Una forma de cuantificar estos errores es a través de un estudio variográfico. Este estudio además puede cuantificar los errores a pequeña escala. 

Para cuantificar el error de tendencia, hay que tomar tantos incrementos como sea posible. La variografía nos entrega una herramienta para determinar el intervalo de muestreo óptimo.

Para disminuir el error de fluctuación cíclica se debe realizar una investigación de sus causas para ver por qué se producen y así poder minimizarla.

Resumen de los errores de la teoría de Pierre Gy

En resumen, los errores son los que se presentan a continuación:

A pequeña escala:

1. Error fundamental, EF.- Error asociado a las diferencias entre fragmentos en cuanto a su forma, tamaño, densidad, composición química, propiedades físicas.

Es un error que se puede estimar con anterioridad, depende de cada unidad geológica.

2. Error de segregación y agrupamiento, ESG.- Error asociado a las diferencias entre grupos de fragmentos. Es un fenómeno cambiante y transitorio.

3. Error de delimitación de los incrementos, ED.- Es un error que se asocia a los dispositivos y técnicas. Se refiere a la forma no equiprobable de considerar la selección de los incrementos.

4. Error de extracción de los incrementos, EE.- Se asocia a los dispositivos de muestreo Se refiere a la forma incorrecta de extraer los incrementos al no respetar el principio de equiprobabilidad. 

5. Error de ponderación, EW.- Error que se produce cuando la masa o volumen del incremento no es proporcional al tonelaje o volumen que está siendo muestreado

6. Error de preparación de los incrementos, EP.- Error no asociado a las etapas de selección y que se relaciona con la alteración de las muestras debido a pérdida de finos, material, descomposición, oxidación, degradación, contaminación, manipulación, etc.

7. Efecto nugget in situ, EN.- Error asociado al muestreo que no toma en cuenta la presencia de pepitas (nuggets) aisladas (material no quebrado), o agrupaciones de vetillas o agrupación de partículas aisladas que no se encuentran diseminados por todo el material. 

A gran escala:

8. Error de fluctuación de la heterogeneidad de largo plazo, HFE2.- Error no aleatorio, de tipo continuo, asociado a la planta y que representa las tendencias entre unidades. También podría ser definido como la segregación a largo plazo.

9. Error de fluctuación de la heterogeneidad periódica, HFE3.- Error no aleatorio, de tipo continuo, caracterizado por ciclos que pueden ser originados por un sinnúmero de causas, como cambio de material a horas establecidas, acciones sobre el proceso a intervalos regulares, etc. 

A continuación, se presenta un resumen de los errores de Pierre Gy, sus causas y como minimizarlos o cancelarlos según corresponda:

Referencias:

(1) P. Gy. "Sampling of Particulates Material. Theory and Practice". Ed. 1979. Ed. Elsevier Scientific Publishing Company.

(2) P. Gy. "Sampling of heterogeneous and dynamic material systems. Theories of heterogeneity, sampling and homogenizing". Ed 1992. Ed. Elsevier Scientific Publishing Company.

(3) Curso: Teoría y práctica del muestreo en minería" de Mauricio Arancibia G. Curso-taller muestreo en minería (arech.cl)

LA HOMOGENEIDAD EN MATERIALES PARTICULADOS SEGÚN LA TEORÍA DE PIERRE GY

Para Pierre Gy, la homogeneidad es un concepto relativo, depende de los lentes con que estemos mirando el material. Si miramos los objetos de lejos parecerán homogéneos a que si lo miramos de cerca.

La homogeneidad perfecta no existe, es una ilusión. La naturaleza es heterogénea.

Se entiende por homogeneidad de constitución cuando las diferencias entre partículas o fragmentos es nula. Es decir, todos los fragmentos son iguales en densidad, tamaño de partícula, propiedades físicas y químicas, etc. (lo que es un caso irreal).

Se entiende por homogeneidad de distribución, la distribución espacial de las partículas de tal manera que no hayan diferencias entre grupos, 

A continuación, se presentan 4 diagramas que sirven para demostrar la naturaleza aleatoria de la "homogeneidad".

Caso A.- En este cuadro hay 64 componentes completamente homogéneos. Esto corresponde a la homogeneidad de constitución.

Aquí se puede apreciar que al no existir heterogeneidad de constitución, tampoco habría heterogeneidad de distribución. 

Este caso no es real.

Caso B.- Módulos repetidos en la vertical y horizontal. La constitución es heterogénea, con 4 diferentes componentes, pero con la distribución estrictamente homogénea si consideramos un múltiplo del módulo 1x4 o 4x1, como por ejemplo; un rectángulo 4x3. Pero heterogénea en un cuadrado 3x3 o un rectángulo 5x2.

Un ejemplo en la vida real podría ser el  de un cristal perfecto.

Caso C.- Representa una distribución completamente segregada. Los cuatro componentes están separados y forman 4 capas respectivamente homogéneas.

En la práctica, esto ilustra el peligro asociado al muestreo de agarre (grab sampling). Hay dos dimensiones de homogeneidad y 1 dimensión de heterogeneidad.

Caso D.- La figura muestra una distribución completamente aleatoria. La heterogeneidad de distribución es mínima e igual al residuo aleatorio DHL.

Equivale a seleccionar al azar, cada elemento, uno por uno, antes de ser colocado al interior del lote. Esto es equivalente a mezclar u homogenizar. Tiende a suprimir o cancelar cualquier correlación entre posición y personalidad de las unidades

Éste último constituye un ejemplo de lo más cercano que puede estar un material de la homogeneidad.

Por lo tanto, un material particulado presenta dos condiciones que provocan que el material no sea estrictamente homogéneo:

1.- heterogeneidad de constitución.- corresponde a la diferencia entre fragmentos. Ninguna partícula o fragmento es igual a otro, porque tienen distinto tamaño, distinta densidad, distinta composición física o química, etc. 

2.- heterogeneidad de distribución.- corresponde a las diferencias entre grupos de fragmentos. Las partículas tienen la propiedad de agruparse y segregarse. Esta anisotropía se ve favorecida por la fuerza de gravedad que actúa en sentido vertical una vez que el material ha dejado de homogenizarse. Al ser las partículas diferentes, lo más homogéneo desde el punto de vista espacial que puede presentarse un material (Caso D), según lo expuesto en los diagramas anteriores, es que las  partículas se distribuyan de manera aleatoria en el espacio. Aunque el material sea sometido a homogenización usando un mezclador u homogenizador correcto, siempre va a existir una heterogeneidad residual.

Tipos de homogeneidad (desde el punto de vista práctico)

En la naturaleza los materiales presentan un híbrido entre estas 5 condiciones.

a) Homogeneidad de tres dimensiones.- Esta es la única forma isotrópica, no degenerada de la homogeneidad de distribución. Es lo que asintóticamente observamos en los homogenizadores.

Una vez que se detienen los homogenizadores comienza actuar la fuerza de gravedad, por lo que esta condición es inestable.  

b) Homogeneidad de dos dimensiones.- Esta se produce por la degeneración de una distribución homogénea de 3 dimensiones, por la acción selectiva o diferencial de la gravedad (Caso C).

Existen 2 dimensiones de homogeneidad y 1 dimensión de heterogeneidad.

c) Homogeneidad de una dimensión.- Este tipo de homogeneidad no resulta por causas naturales, sino que es introducida en el proceso por los seres humanos.

Se crea con el fin de alimentar una planta con material que tenga variabilidad uniforme.

Existen 2 dimensiones de heterogeneidad y 1 dimensión de homogeneidad.

La técnica desarrollada para este fin, se aplica en las industrias del cemento y del acero, y se conoce como “bed blending”. Existen varios métodos de bed blending, tales como Chevron, Hileras, Chevcon, etc.

Nota.- Haga clic sobre los nombres de los métodos de bed-blending para ver los videos.

d) Homogeneidad por revolución.- Este tipo de homogeneidad puede definirse como una simetría alrededor de un eje vertical.

Existe 1 dimensión de homogeneidad y 2 dimensiones de heterogeneidad.

Lo observamos en la descarga de material particulado desde una faja transportadora, cuando el material cae en un plano horizontal o en un cilindro cónico alimentado a lo largo de su eje de revolución.

Otro ejemplo donde se usa este tipo de distribución es en el método de cono y cuarteo.

e) Heterogeneidad de tres dimensiones.- Este es el caso más general. Para el Dr. Gy es el estado que siempre deberíamos asumir cuando nada se sabe acerca de la distribución.

Hay 3 dimensiones de heterogeneidad y ninguna distribución de homogeneidad.

Referencia:

[1] Pierre Gy - "Sampling of heterogeneous and dynamic material systems". Ed 1992.

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El diagrama de muestreo preferido de Pierre Gy

Los diagramas de muestreo son herramientas bastante útiles que se usan principalmente en la industria minera con el propósito de presentar un protocolo válido de todo el proceso de muestreo en función de la masa de la muestra y del tamaño de partícula.

Un diagrama clásico que relaciona la varianza relativa del error fundamental con respecto a la masa de la muestra y al tamaño de partícula está consignada en la siguiente expresión:

   

Sin embargo, existe otro tipo de diagrama de muestreo que es equivalente al anterior y que se le conoce en la literatura como el "diagrama preferido de Pierre Gy", pero que relaciona la masa de la muestra con respecto al tamaño de partícula y a la varianza relativa del error fundamental, y cuya expresión está dada por:

Para construir este último diagrama de muestreo, y considerando una masa del lote que es al menos 10 veces la masa de la muestra, se partió de la base que la primera ecuación ya no nos servía para este propósito, debido a que la constante C depende del tamaño de partícula y lo que necesitamos es relacionar la masa de la muestra precisamente con diferentes tamaños.

Por lo tanto, para encontrar una expresión donde la varianza relativa del error fundamental no se encuentre relacionada directamente con la constante C, se procedió a la descomposición del término C, agrupando los términos que realmente son independientes del tamaño de partículas, tal como se ilustra en la siguiente expresión

Aquí los términos del numerador son independientes de d, por lo que se puede agrupar en una nueva constante K que es independiente del tamaño de partícula:

Por lo tanto, se obtiene una ecuación equivalente de la clásica pero en función de términos independientes de C.

simplificando, obtenemos:

Por lo tanto, la expresión final para este diagrama de Ms vs d queda establecido por la ecuación:

Si queremos construir, por ejemplo, un diagrama de muestreo para el cobre en un mineral de cobre que se encuentra uniformemente diseminado, entonces podríamos aproximar el exponente r = 0,5.y la expresión anterior quedaría como:

Y de acuerdo con esta expresión se construye el siguiente diagrama de muestreo, en la que la masa de la muestra es función del tamaño de partícula y de la varianza relativa del error fundamental.

Para construir este gráfico se consideró un CV =10% y un K exp = 4,22 (línea roja). Los datos usados para construir el protocolo del muestreo son los que se entregan en la siguiente tabla.

Para mayor información de la construcción e interpretación del diagrama de muestreo clásico, ver mi post denominado 

La teoría de Pierre Gy aplicada a los minerales

Referencias:

(1) P. Gy. "Sampling of Particulates Material. Theory and Practice". Ed. 1979. Ed. Elsevier Scientific Publishing Company.

(2) P. Gy. "Sampling of heterogeneous and dynamic material systems. Theories of heterogeneity, sampling and homogenizing". Ed 1992. Ed. Elsevier Scientific Publishing Company.

(3) Curso-taller: "Teoría y práctica del muestreo, basado en la teoría de Pierre Gy" de Mauricio Arancibia G.

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Método alternativo de división manual por incrementos

El siguiente articulo tiene por objeto proponer la aplicación de una metodología alternativa a la propuesta por ISO y JIS respecto del método de división manual por incrementos, más conocida por slab-cake.

Este método que es usado en la actualidad en la reducción de muestras de concentrados de embarque/desembarque ha sido fuertemente cuestionado durante décadas por tener un claro error de delimitación de los incrementos. A pesar del cuestionamiento, las norma ISO 12743 (1), ISO 3082  (2) y JIS M 8100 (3) la han seguido reafirmando a pesar de las críticas existente desde la publicación del libro de Gy en 1979 (4).

A continuación, se presenta el método de división manual por incrementos según las normas ISO y JIS ;

Este procedimiento usa una pala que tiene una forma asimétrica en la parte frontal tal como se muestra en la siguiente figura:

Figura 1 - Pala ISO actual

Aquí, los lados a y d no son iguales, debido a que la pala se introduce en forma diagonal en el material y el incremento es contenido en su interior gracias a que se coloca una placa tope en la parte frontal de la pala.

Figura 2 - Error de delimitación del incremento del método actual de ISO

Si lo vemos lateralmente, podemos apreciar claramente el error de delimitación de los incrementos, ya que la pala introducida de esa forma hace que las partículas que se encuentran en la parte inferior del material tienen menor probabilidad de ser escogidos que las que se encuentran en la parte superior y constituir parte de la muestra.

Método alternativo de división manual por incrementos

El siguiente método alternativo es una modificación del método anterior 

Este procedimiento usa una pala que tiene una forma simétrica en la parte frontal tal como se muestra en la siguiente figura:

Figura 3 - Pala ISO modificada

A diferencia de la pala usada en ISO y JIS, los lados a y d de la pala de la figura 1 son iguales.
Para ser consistente con las dimensiones presentadas por ISO, sólo se modificó el lado c (ancho) de esta nueva pala para que el volumen obtenido sea aproximadamente igual a la que se obtiene con la pala anterior.

Aquí, no existe el error de delimitación porque la pala no es introducida diagonalmente, sino horizontalmente arrastrándola por la superficie hasta llegar a la placa tope donde el incremento es contenido de forma equiprobable según el siguiente esquema:

 Figura 4 - Esquema del método alternativo de división (equiprobable)

                                 
Las siguientes tablas presentan las dimensiones actuales y las propuestas para el nuevo método

Tabla 1- Dimensiones de la pala ISO actual de la Figura 1

Tabla 2- Dimensiones de la nueva pala modificada de la Figura 3

Sobre la teoría de Pierre Gy visitar mi otro post: Teoría de Pierre Gy

Referencia:
(1) ISO 12743:2018 "Copper, lead, zinc and nickel concentrates -- Sampling procedures for determination of metal and moisture content".
(2) ISO 3082:2017 "Iron ores - Sampling and sample preparation procedures".
(3) JIS M 8100:1992 "Particulate materials - General rules for methods of sampling"(ratificada en oct. de 2018)
(4) Pierre M. Gy - "Sampling particulates material - Theory and practice". Ed. 1979.

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La teoría de Pierre Gy aplicada a los minerales

Han pasado más de 40 años de que Pierre M. Gy publicara su famoso libro “Sampling of particulates materials. Theory and Practice” (ed. 1979) y más de 50 años que estableciera su famosa expresión del error fundamental (1953). Sin embargo su legado sigue vigente hasta el día de hoy.

A continuación presento un breve resumen de su aplicación a la minería; 

En la moderna teoría del muestreo de P. Gy, se puede desprender que, existen dos principios (que son equivalentes a las 4 reglas cardinales del muestreo correcto de la teoría de Pierre Gy) que deben ser tomados siempre en consideración:

1.- El principio de la Equiprobabilidad.- “Que todas las partículas o fragmentos tengan la misma probabilidad de ser escogidas y que formen parte de la muestra”.

2.- El principio de la Integridad.- "Que en todo el proceso de muestreo se mantenga las características del lote original".

El primer principio está asociado al proceso de selección (a las operaciones selectivas), es decir aquella etapa donde se extrae una fracción a partir de un lote. Y están ligadas a ellas los siguientes errores; fundamental, segregación y/o agrupamiento, delimitación, extracción y ponderación.

El segundo principio, en cambio, está asociado a las operaciones no selectivas, es decir, a aquellas etapas del proceso donde no se extrae una fracción a partir del lote, como, por ejemplo; almacenamiento temporal, traslado, secado, conminución, homogenizado o mezclado, ensobrado, entre otros. En todas estas etapas sólo se puede producir el error de preparación.

Sin embargo, con el tiempo se han ido agregando otros errores contabilizando nueve hasta la fecha. Estos son:

A.- Heterogeneidad de corto plazo (EQ1)  

(asociados al proceso de selección, a excepción de EP)

1.- Efecto pepita (In situ Nugget); EN

2.- Fundamental; EF

3.- De Segregación y/o agrupamiento; ESG

4.- De Delimitación de los incrementos; ED

5.- De Extracción de los incrementos; EE

6.- De Ponderación; EW

7.- De Preparación; EP

B.- Heterogeneidad de largo plazo

(asociados al proceso de la planta)

8.- De fluctuación de la calidad (tendencias y desvíos); EQ2

9.- De fluctuación periódica (ciclos); EQ3

Nota.- El error analítico (EA) no se le considera parte del error de muestreo).

En síntesis el error total de muestreo (ET) se puede descomponer en los siguientes componentes :

ET =  [EN + EF + ESG + EQ2 + EQ3] + [ED + EE + EW] + EP

Los primeros cinco errores nunca podrán ser eliminados, pero si pueden ser minimizados, ya que los tres primeros forman parte inherente de la heterogeneidad con que se presentan los materiales en la naturaleza y los otros dos errores de largo alcance corresponden a la variabilidad que presenta el muestreo del material en la planta (en base a tiempo) o en la corteza terrestre (en base a masa), por ejemplo.

Los tres errores siguientes, ED, EE y EW es posible eliminarlos. Pero si no se aplican las prácticas del muestreo correcto, éstas pueden llegar a constituir fuentes importantes de sesgo. Los errores ED y EE están asociados a los dispositivos y a las técnicas de muestreo. En este sentido es importante utilizar la geometría correcta de estos dispositivos y la forma correcta como llevar a cabo el proceso de selección para evitar romper con los principios de equiprobabilidad y de integridad en el muestreo.

La geometría correcta de los dispositivos es la siguiente:     

a) Para lotes circulares, el dispositivo de muestreo debe ser radial

b) Para lotes lineales, el dispositivo de muestreo debe contemplar un paralelogramo o un rectángulo

Lo mismo aplica para las técnicas de muestreo.

Por último, en el caso del error de preparación, EP, las fuentes de sesgo que pueden ser completamente eliminadas al principio en el diseño correcto del sistema de muestreo y de preparación de muestras incluyen la pérdida de muestra, la contaminación de la muestra y la incorrecta extracción de los incrementos. Mientras, que las fuentes que pueden ser minimizadas pero no completamente eliminadas incluyen los cambios en el contenido de humedad, pérdida de polvo y degradación en el tamaño de partícula (para la determinación del tamaño).

Acerca del Error fundamental

El error fundamental corresponde a aquella variación producida por la heterogeneidad de constitución de las partículas o fragmentos, es decir, la variabilidad de una característica en particular entre partículas o fragmentos en cuanto a su composición química y/o mineralógica, forma, tamaño, densidad u otras propiedades.

La siguiente expresión corresponde a la varianza relativa del error fundamental:

donde:

S²(FE): varianza relativa del error fundamental;
M_s: Masa de la muestra (g);
M_L: Masa del lote (g);
d: Tamaño de partícula (cm³);
C: Constante de muestreo (g/cm³);
x̄: concentración del constituyente de interés.
s²: varianza del constituyente de interés.

La importancia de conocer el error fundamental para cada unidad geológica es que podemos estimar la masa mínima que necesitamos obtener en cada etapa de selección, y según esta ecuación esta masa mínima depende del tamaño de partícula y de la precisión que necesitamos para la toma de decisiones sin que introduzcamos sesgo en el proceso.

Para determinar la varianza del error fundamental, según esta ecuación, sólo necesitamos conocer la masa de la muestra, la masa del lote, el tamaño de partícula y la constante C.
Sin embargo, conocer la masa y el tamaño de partícula no reviste mayor dificultad en la práctica. Pero sí la constante C (que en realidad no es una constante para todos los estado de conminución).
Existen dos formas para determinar la constante C; una estimación "simplificada" o aproximada y la determinación experimental a través del Test de Heterogeneidad.
Para la estimación "simplificada" de la constante C necesitamos tener cierta información previa, ya sea de la literatura o de nuestro historial.
En este primer caso la constante C se descompone en 4 factores; factor de forma (f), el factor dependiente del rango de tamaño (g), el factor mineralógico (c) y el factor de liberación (l):

C = fcgl

En la determinación experimental mediante el Test de heterogeneidad, el material escogido para la prueba se somete a conminución después del secado y se pasa a través de un harnero vibratorio, donde se escoge una fracción para el test, que generalmente es de 1/2" a 1/4". De esa fracción, una cantidad exacta de diferentes fragmentos (n = 35 por ejemplo) deben ser escogidos al azar para conformar la muestra. Este procedimiento generalmente se repite unas 100 veces (100 muestras de x fragmentos cada uno), los cuales posteriormente se procesan como muestras independientes para la determinación de la característica de calidad.
La constante C obtenida en este test para esa fracción, luego se extrapola al resto de los estados de conminución, a través de una nueva constante que se denomina constante K para todos los estados de conminución.
El resultado final es la construcción de un gráfico log-log denominado "Nomograma" que permite visualizar el procedimiento más adecuado para las distintas etapas de selección sin que se introduzca sesgo en el proceso.
Cabe destacar, que la constante K se deriva de la siguiente expresión:

En esta expresión son constantes para todos los estados de conminución los siguientes términos: f, g, c, d_l.

donde d_l corresponde al diámetro de partícula donde se libera el mineral.
La constante C obtenida del test de heterogeneidad para esa fracción en particular nos sirve para determinar la constante K para todos los estados de conminución:

Las diferentes constantes C para cada estado de conminución, por lo tanto ahora la podemos obtener a partir de la expresión anterior:

Finalmente, con todos estos datos se construye el gráfico o nomograma respectivo a partir de la ecuación simplificada de la varianza relativa del error fundamental cuando la masa del lote (M_L) es mayor a 10 veces la masa de la muestra (M_s):

A partir de esta expresión se construye el nomograma, llevando la ecuación a escala logarítmica:

Aquí la pendiente de esta ecuación es -1.

En este diagrama de muestreo, las líneas diagonales representan los diferentes tamaños de partículas y la línea roja horizontal corresponde al límite de seguridad. Bajo esa línea, el proceso se encuentra en el lado seguro y sobre esa línea el proceso pasa a ubicarse en el lado inseguro.

Sobre cómo determinar la línea de seguridad del nomograma de Pierre Gy, visitar el siguiente post:
Línea de seguridad de Pierre Gy

Si quieres conocer el diagrama de muestreo preferido de Pierre Gy, visitar el siguiente post:
El diagrama de muestreo preferido de Pierre Gy

Más sobre la teoría de Pierre Gy en el siguiente post:

Como aplicar la teoría de Pierre Gy en la práctica 

(ARTÍCULO REVISADO Y CORREGIDO EN AGOSTO DE 2024)

Nota.- El siguiente artículo está basado en las siguientes fuentes:

(1) P. Gy. "Sampling of Particulates Material. Theory and Practice". Ed. 1979. Ed. Elsevier Scientific Publishing Company.

(2) P. Gy. "Sampling of heterogeneous and dynamic material systems. Theories of heterogeneity, sampling and homogenizing". Ed 1992. Ed. Elsevier Scientific Publishing Company.

(3) R.C.A. Minnitt*, P.M. Rice† and C. Spangenberg. "Part 1: Understanding the components of the fundamental sampling error: a key to good sampling practice". Ed. 2007. The Journal of The Southern African Institute of Mining and Metallurgy.
(4) ISO 3082: 2000. "Iron Ores - Sampling and sample preparation procedures".
(5) Curso de muestreo de minerales, de Mauricio Arancibia G,

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