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miércoles, 11 de enero de 2023

POTENCIA Y TAMAÑO DE MUESTRA PARA LA PRUEBA Z DE 1 MUESTRA EN EXCEL

Uno de los grandes problemas que el profesional e investigador enfrenta diariamente al usar pruebas estadísticas es asegurar que su resultados y conclusiones sean confiables. En la estadística frecuentista equivale a validar los supuestos subyacentes y a determinar el tamaño de muestra mínimo para que sus resultados sean válidos (aparte de considerar otros factores).

En la prueba z de 1 muestra, lo que se desea determinar es que tan significativa es la diferencia entre la media de una muestra y un valor de referencia cuando sigma es conocido. 

(Ojo, en estadística el concepto de muestra se refiere a un conjunto de observaciones que lo asociamos a alguna característica de interés para nuestro estudio)

El contraste de hipótesis es:

Prueba bilateral: 

H0 : μ = μ0 vs H1: μ ≠ μ0

Prueba unilateral

H0 : μ ≤ μ0 vs H1: μ > μ0

H0 : μ ≥ μ0 vs H1: μ < μ0

Para el criterio de rechazo se pueden usar cualquiera de los siguientes tres métodos alternativos que son equivalentes; el método del puntaje, el método de la probabilidad o el intervalo de confianza. 

Pero, las conclusiones de esta prueba además van a depender de la interrelación de 5 factores; el tamaño de la muestra, la variabilidad de los datos, la diferencia que se quiere detectar, la potencia de la prueba (asociada al error tipo II) y el error tipo I.

Vamos por parte, que es el error tipo I y el error tipo II.

Cuando repetimos un experimento varias veces, los resultados que obtenemos (los datos), nunca van a ser iguales, estamos en el campo de las probabilidades y aquí podemos cometer dos tipos de errores;

El error tipo I, expresado como probabilidad alfa; es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es cierta.

El error tipo II, expresado como probabilidad beta, es la probabilidad de no rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es falsa.

La potencia de la prueba, en cambio, es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es falsa. Esto último nos estaría dando un indicador de que tan sensible es una prueba para detectar una diferencia específica. Valores del 80% hacia arriba se considera bueno, sobre el 90% aún mejor.


Determinación de la potencia de la prueba z de 1 muestra en Excel 

En resumen, para determinar la potencia de una prueba tenemos que considerar que ésta depende de los siguientes factores:

1.- El tipo de prueba estadística

2.- Si la prueba es unilateral o bilateral

3.- la probabilidad alfa

4.- El tamaño de la muestra, n

5.- La diferencia que deseamos detectar

6.- la variabilidad de los datos


Por lo tanto, las ecuaciones que determinan la potencia son:

Para una prueba bilateral:  H1: μ ≠ μ0




Para una prueba unilateral:  H1: μ > μ0 




Para una prueba unilateral:  H1: μ < μ0 




A continuación, se presenta como puede determinarse la potencia de la prueba z de 1 muestra en Excel.

Los datos de entrada se escriben en una pestaña en Excel que denominaremos "salida" (Ver figura 2). En la segunda pestaña denominada "calculo" es donde se realizan los cálculos respectivos (Figura 1) 


Figura 1.- Hoja de cálculo para determinar la potencia de la prueb

En la pestaña salida, es donde se anotan los datos y se despliega el resultado. En la siguiente figura se muestra la potencia obtenida para una prueba bilateral



Figura 2.- Hoja donde se escriben los datos de entrada; n, alfa, sigma y diferencia a detectar.

Las hipótesis alternativas que se presentan en el cuadro verde de la Figura 2 se construye a partir de los controles de formularios de Excel, que se ubican en; programador > Insertar > controles de formulario > botón de opción (control de formulario).
Una vez colocado esos botones, con el botón derecho del mouse se debe teclear Formato de control


Figura 3.- Menú para ingresar a Formato de control

Una vez en formato de control, se debe vincular a la celda respectiva de la pestaña calculo, tal como se muestra en Figura 4.


Figura 4.- Cuadro de diálogo del Formato de control

Y con esto deberían aparecer los resultados en la hoja de salida, de la Figura 2.


Determinación del tamaño de muestra para la prueba z de 1 muestra en Excel

Para determinar el tamaño de muestra, tenemos que considerar, que ésta depende de los siguientes factores:

1.- El tipo de prueba estadística

2.- Si la prueba es unilateral o bilateral

3.- la probabilidad alfa

4.- La potencia de la prueba

5.- La diferencia que deseamos detectar

6.- la variabilidad de los datos

Por lo tanto, las ecuaciones que determinan el tamaño de muestra son:

Para las pruebas unilaterales:






donde:





Para la prueba bilateral:

Se debe usar un método iterativo para encontrar n. En Excel se puede recurrir a la función BUSCARV.

A continuación, se presenta como puede determinarse el tamaño de muestra para la prueba z de 1 muestra en Excel.
Los datos de entrada se escriben en la pestaña en Excel que se denomina "salida" (Ver figura 6). En la segunda pestaña denominada "calculo" es donde se realizan los cálculos respectivos (Figura 5)


Figura 5.- Hoja de cálculo para determinar el tamaño de muestra

En la pestaña salida, es donde se anotan los datos y se despliega el resultado. En la siguiente figura se muestra el tamaño de muestra mínimo que se requiere para una prueba bilateral.


Figura 6.- Hoja donde se escriben los datos de entrada; potencia, alfa, sigma y diferencia a detectar.

Las hipótesis alternativas que se presentan en el cuadro verde de la Figura 6 se construye a partir de los controles de formularios de Excel, que se ubican en programador > Insertar > controles de formulario > botón de opción (control de formulario).
Una vez colocado esos botones, con el botón derecho del mouse se teclea Formato de control

Figura 7.- Menú para ingresar a Formato de control

Y se vincula a la celda respectiva de la pestaña calculo, en este caso relacionada con el tamaño de muestra


Figura 8.- Cuadro de diálogo del Formato de control

Por último, en la pestaña iterativo z, se presenta el método iterativo para determinar el tamaño de muestra para una prueba bilateral.


Figura 9.- Hoja de cálculo donde se presenta el método iterativo para obtener el tamaño de muestra para una prueba bilateral


Figura 10.- Hoja de cálculo donde se presenta el método iterativo para obtener el tamaño de muestra para una prueba bilateral

Se debe tener presente, que para el resto de las pruebas como t de 1 muestra, test de 1 varianza, t de 2 muestras independientes, t de muestras pareadas, ANOVA de 1 factor, etc. cada una de ellas tiene su propio cálculo de potencia y tamaño de muestra.

Referencia
(2) Montgomery D., Runger G., “Applied Statistics and Probability for Engineers”, 7° Ed. 2018

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