Dimensionamiento de Molino de bolas por el Método de Bond, aplicando factores correctores de la fórmula

El siguiente artículo trata del procedimiento que fue establecido por F. Bond para obtener las dimensiones de un molino de bolas ideal.

A partir de la llamada tercera ley de la conminución, Fred Bond desarrolló un procedimiento para estimar las dimensiones de varios equipos industriales, entre los que se incluye el “molino de bolas”.

Este procedimiento si bien tiene un error de estimación cercana al ±20 %, continúa aun siendo utilizado en la actualidad debido a la gran simplicidad en sus cálculos.

Procedimiento

1.-Determinación del W_I del material a través de pruebas estándar de laboratorio.

2.- El valor del W_I calculado es para un molino de bolas en condiciones estándar, es decir, considerando tipo descarga por rebalse, de 8 pies de diámetro interior, molienda en húmedo y en circuito cerrado. Este valor se conoce como Valor base de W_I.

3.- En caso que estas condiciones no se cumplan, se deberán considerar los siguientes factores de corrección:

Factor f₁ ; molienda en seco

Factor f₂ ; molienda en circuito abierto

Factor f₃ ; factor eficiencia por diámetro del molino

Factor f₄ ; alimentación demasiado gruesa

Factor f₅ ; sobremolienda de finos, obteniéndose P₈₀ ≤ 75µm

Factor f₆ ; baja razón de reducción en el molino

Si el factor no tiene influencia entonces, el factor es igual a 1.

donde:

W_I (corr): Work index corregido

Factor f₁ : Para el mismo rango de trabajo de molienda húmeda, F. Bond estimó que la molienda seca requiere 1,3 veces más potencia que la molienda húmeda. Es decir f₁ = 1,3.

Factor f₂ : En circuito abierto, la molienda húmeda requiere una cantidad extra de potencia si se le compara cuando se efectúa en circuito cerrado. El valor del factor depende del producto de molienda producido y su valor se entrega en la siguiente tabla:

   Tamaño de Control del Producto                Factor

          (Referencia a % pasante)                            f₂               

                            50                                           1,035

                            60                                           1,050

                            70                                           1,100

                            80                                           1,200

                            90                                           1,400

                            92                                           1,460

                            95                                           1,570

                            98                                           1,700

Factor f₃ : El diámetro interno del molino afecta la eficiencia de molienda. Para condiciones no estándar, es decir, D ≠ 8 pies, el factor f₃ está dado por:

donde:

D: diámetro interno del molino en pies, medido entre revestimientos.

En operación de Planta, cuando D ≥ 12,5 pies, la eficiencia llega a un máximo manteniéndose en un valor constante y f₃ = 0,914.

Como D es un parámetro desconocido al comienzo, F. Bond sugiere considerar f₃ = 1, durante la primera iteración cuando D ≠ 8 pies y luego recalcular dicho valor más adelante.

Factor f₄ : Este factor se utiliza cuando el material con que se alimenta el molino es más grueso que un cierto valor óptimo. Este factor se relaciona directamente con el Work Index, según la siguiente ecuación:

Donde:

R_r : razón de reducción del 80 % = F₈₀/P₈₀

F₈₀ : tamaño 80 % de alimentación (µm)

P₈₀ : tamaño 80 % del producto (µm)

W_I : Work Index del material (KWh/ton. corta)

F₀ : tamaño óptimo de alimentación (µm)

Siendo:

Factor f₅ : Cuando hay una sobremolienda de finos, es decir, el tamaño 80% pasante del producto es menor que 75 micrones (200 mallas) se aplica el factor f₅ de acuerdo a la siguiente ecuación:

Factor f₆ : Cuando la razón de reducción del molino es baja, es decir menor a 6, se aplica el factor f₆, como ocurre en el proceso de remolienda de concentrados y relaves de circuitos industriales.

El Work Index corregido está dado por la siguiente expresión:

El consumo de energía específica en la molienda industrial, para ir desde un tamaño 80 % pasante F₈₀ hasta un tamaño 80 % pasante P₈₀ está dado por:

Donde:

W : Consumo de energía (KWh) necesario para reducir una tonelada corta de material, desde un tamaño 80 % pasante F₈₀ (µm) hasta 80 % pasante P₈₀ (µm).

W_I, P₈₀ y F₈₀ corresponden al Work Index (KWh/ton corta), a los tamaños 80 % pasante del producto final y alimentación fresca del circuito industrial de molienda (µm).

La potencia mecánica requerida para la molienda del material está dado por:

O bien:

Donde C : capacidad deseada del circuito para la conminución del material de molienda / clasificación (TPH de sólidos procesados), expresado en ton corta/h.

La potencia mecánica calculada de esta forma es la potencia requerida en el eje piñón del molino, la cual incluye pérdidas por eficiencia en rodamientos, engranajes y piñón, pero NO incluye las pérdidas de eficiencia en el motor y otros componentes accesorios, tales como reductores de velocidad, pérdidas de transmisión, etc.

La potencia eléctrica requerida en la entrada del motor, suponiendo una eficiencia de h % (normalmente h = 95 %) está dado por:

Donde P_E (HP): Potencia eléctrica requerida en la entrada del motor, medido en HP

P_M (HP) : Potencia mecánica requerida para la conminución del material, medido en HP

A partir de la siguiente ecuación para calcular el consumo de potencia eléctrica en molino de bolas y utilizada por algunas empresas de ingeniería,

se determina el valor de D, una vez especificado los valores de P_E (HP), K_B, %V_P, %C_S y la razón L/D.

Donde:

P_E (HP) : Potencia eléctrica requerida a la entrada del motor (HP)

D : diámetro interno del molino (pies). Se aconseja D = 20 pies

%V_P : % del volumen interno del molino cargado con bolas (volumen aparente de la carga de bolas), expresado como porcentaje. Se aconseja utilizar un valor de %V_P entre 40 y 50 %.

%C_S : % de velocidad crítica del molino, expresado como porcentaje. Se aconseja utilizar un valor entre 68 y 78 % de la velocidad crítica.

L : Longitud interna del molino (pies). Para la mayoría de los casos prácticos, se puede variar la razón L/D entre 1 y 3.

K_B : Constante de proporcionalidad, cuyo valor depende del tipo de molino seleccionado, de acuerdo a la siguiente tabla:

Tipo de molino de bolas		Valor de KB
-          Descarga por rebalse, molienda húmeda		4,365 x 10-5
-          Descarga por Diafragma (parrilla), molienda húmeda		4,912 x 10-5
-          Descarga por Diafragma, molienda seca		5,456 x 10-5

La ecuación anterior implica hacer una primera estimación de D, la cual se reemplaza en la fórmula (L/D) y se vuelve a calcular iterativamente hasta que el algoritmo de cálculo converja.

Las veces que deberá repetirse este cálculo, es hasta obtener una variación máxima relativa de 1 % para valores de D calculados entre iteraciones sucesivas.

Ejemplo Práctico

Se desea reducir un material desde 80% pasante 195(µm), requiriéndose tratar 216tons. Corta hora de sólidos en la planta de procesamiento;

Los datos conocidos y parámetros por determinar se resumen a continuación;

W_I=14,5 kwh/ton corta.

Molienda en húmedo (65% de sólidos) y en circuito cerrado.

F₈₀=tamaño 80% alimentación 4763(µm).

P₈₀ =tamaño 80% del producto= 195(µm).

h =eficiencia del motor=96%.

Molino de Bolas tipo Overflow (descarga por rebalse).

C=216 ton corta/hora= alimentación fresca de sólidos al circuito de molienda.

L/D= 1,25 = razón largo/diámetro seleccionada.

%C_S =70% de la velocidad crítica.

%V_P =45% de carga de bolas (como % del volumen interno del molino)

Valor de K_B =4,63E-5

Solución:

Factor	Valor	Observaciones
f1	1.000	molienda húmeda
f2	1.000	circuito cerrado
f3	1.000	considerando D=8 c/estimación inicial
f4	1.079	Rr=24,43;Wi=14,5;F₈₀=4763;F₀=3787um
f5	1.000	porque P₈₀>75u.m
f6	1.006	Rr=24,43

La siguiente tabla ilustra los cálculos realizados durante cada iteración:

Iteración	f3	Wi (corr)	W;kwh/ton corta	PM;HP	PE;HP	D;pies	L;pies	%error en D
1	1	15.739	8.991	2604.18	2712.69	15.412	19.265	-
2	0.915	14.402	8.226	2382.83	2482.11	15.026	18.782	2.51
3	0.915	14.402	8.226	2382.83	2482.11	15.026	18.782	0

(*)Nota: Como D>12,5 pies; se supuso f3 = Cte. =0,915

Por consiguiente, las dimensiones del molino de bolas serán:

D=15,03 pies, es decir, 15 pies de diámetro interno.

L=18,78 pies, es decir, 19 pies de longitud efectiva.

La potencia eléctrica del motor será:

Como en el ejemplo desarrollado, D=15 pies (tamaño relativamente grande para el molino de bolas), se podría pensar también en la posibilidad de utilizar dos molino de bolas más pequeños operando en paralelo. En tal caso, cada molino debería consumir una potencia aproximada de 1300HP, obteniéndose las siguientes dimensiones para cada uno de ellos;

Nº de molinos de bolas=2

D=12,5 pies de diámetro interno

L=15,5 pies de largo efectivo

P_E = 1293 HP / molino que es aprox. 1300 HP en cada molino

Limitaciones y deficiencias de las teorías clásicas de conminución

Debido a que la metodología desarrollada por Fred Bond, es la más utilizada en la industria minera para dimensionar equipos de conminución, a continuación se resumen las principales limitaciones y deficiencias del método de Bond:

En primer lugar, en el procedimiento estándar de laboratorio, Bond utiliza un tamiz de separación para simular la malla de corte obtenida con un clasificador industrial. Es decir se realiza una “clasificación ideal” del material a escala de laboratorio, lo cual es imposible de lograr a escala industrial. La mayoría de los clasificadores industriales poseen características de separación extremadamente variables, con desviaciones substanciales respecto al comportamiento de separación perfecta.

Segundo, las condiciones de equilibrio alcanzadas en un test estándar de Bond a escala de laboratorio corresponden al estado estacionario alcanzado en un molino tipo “plug flow”. Es decir, está implícito en el método de Bond que los molinos de industriales no actúan como mezcladores de la pulpa además de moler las partículas del material. Las características dinámicas de transporte de la pulpa en el molino normalmente se sitúan entre los casos extremos de mezcla perfecta y flujo-pistón, de acuerdo a los resultados de numerosos estudios de transporte de partículas, realizados en molinos industriales.

Tercero, se supone también, en forma implícita, que todos los tipos de materiales se fracturarán de una manera similar, es decir, de acuerdo a las características típicas de un “material ideal tipo Bond”. Dicho material se caracteriza por tener  por una distribución granulométrica de Rosin-Rammmler, con una pendiente igual a 0,5 en la región de tamaños finos.

En la práctica, muy pocos materiales siguen en forma natural este tipo de distribución, y entre aquellos que así lo hacen, es muy raro encontrar alguno con pendiente exactamente igual a 0,5.

Cuarto, en el método de Bond se utilizan sólo 3 parámetros para calcular el consumo de energía en la molienda. Ellos son: (a) el índice de trabajo (Work Index Wi);(b)un parámetro de tamaño característico de la alimentación (F₈₀;µm)y(c)un parámetro de tamaño característico del producto(P₈₀;µm).El concepto de Work Index, en sí mismo, engloba en un solo parámetro todo el proceso de fractura, transporte y clasificación del material dentro de un circuito cerrado de molienda/clasificación. Es por ello que Bond ha debido incluir una serie de “factores correctores” dentro de su formula básica, a fin de tomar en cuenta el efecto de diversas variables de operación sobre el consumo energético de la molienda. Existen correcciones para molienda seca, circuito abierto, fineza exagerada del producto molido, tamaño de alimentación demasiado grueso y efecto del diámetro del molino. El objetivo primordial de estos factores correctores es disminuir las diferencias observadas en planta, tanto en capacidad como en consumo de potencia, con respecto a los correspondientes valores determinados mediante la fórmula estándar de Bond. Debemos recordar, además, que el valor de Wi obtenido a través del procedimiento estándar de laboratorio ha sido correlacionado con muchísimos datos experimentales acumulados en planta, a objeto de “calibrar” la fórmula de escalamiento propuesta por Bond, para calcular el consumo energético de los materiales molidos de los equipos industriales. Para ello, se ha utilizado un sinnúmero de resultados experimentales recopilados en planta, obtenidos fundamentalmente con molinos de 8 pies de diámetro interno, operando en húmedo, ya sea en circuito cerrado con clasificadores industriales para molinos de bolas.                    

Conclusión

El dimensionamiento de los molinos de bolas mediante factores correctivos de Bond es un método empírico de correlación, que nos permite determinar una primera estimación de consumo real de energía para moler un mineral determinado en un molino de tamaño industrial con un error de ±20%, no obstante, debido a su extrema simplicidad, el procedimiento de Bond hoy en día aun es utilizado por la industria minera para dimensionar molinos de bolas a escala piloto, semi-industrial e industrial.

Referencias

1. Gutiérrez, L., Sepúlveda, J. 1986. Dimensionamiento y Optimización de Plantas Concentradoras mediante Técnicas de Modelación Matemática. Editado por CIMM, 302 p. 
2. Artículo de mi autoria.

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